定义

参数曲线

参数曲线是通过一个参数 t 来描述的曲线，通常表示为：C(t) = (x(t),y(t),z(t))。其中：t 是参数，通常定义在某个区间 [a,b] 上。x(t)、y(t)、z(t) 是关于参数 t 的函数，分别表示曲线在三维空间中的坐标。参数曲线通过参数 t 的变化来描述曲线的形状。因为参数化方式不唯一，所以同一个曲线可以用不同的参数方程表示。
接下来我们将举一些例子。

直线： C(t) = P0 + t⋅(P1−P0) , t∈[0,1]，其中 P0 和 P1 是直线的起点和终点。
圆弧： C(t) = (rcos(t),rsin(t)) , t∈[0,2π]，其中 r 是半径。
贝塞尔曲线：

参数曲面

参数曲面是通过两个参数 u 和 v 来描述的曲面，通常表示为：S(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))，其中 u 和 v 是参数，通常定义在某个区域 [a,b]×[c,d] 上，x(u,v)、y(u,v)、z(u,v) 是关于参数 u 和 v 的函数，分别表示曲面在三维空间中的坐标。参数曲面通过参数 u 和 v 的变化来描述曲面的形状。因为参数化方式不唯一，所以同一个曲面可以用不同的参数方程表示。
接下来我们将举一些例子。

平面： S(u,v) = P0 + u⋅A + v⋅B, u, v∈R。其中 P0是平面上的一个点，A 和 B 是平面的两个方向向量。
球面： S(u,v) = (rsin(u)cos(v),rsin(u)sin(v),rcos(u)) ,u∈[0,π],v∈[0,2π]。其中 r 是半径。
贝塞尔曲面：

连续性

参数连续

曲线

参数连续是指曲线在连接处的参数导数连续。对于曲线来说，参数连续性涉及一阶导数、二阶导数等高阶导数。在 CAD 和几何建模中，参数连续用于确保曲线拼接的光滑性。高阶参数连续（如 C²）常用于汽车、航空航天等领域，要求曲线的曲率连续。

定义

C⁰ 连续：曲线在连接点处位置连续，但切线方向可能不连续。
C¹ 连续：曲线在连接点处位置和一阶导数（切线方向）连续。
C² 连续：曲线在连接点处位置、一阶导数和二阶导数（曲率）连续。

条件

对于两条曲线 r1(t) 和 r2(t)，在连接处 t=t0 需要满足：

C⁰ 连续：r1(t0) = r2(t0)
C¹ 连续：
C² 连续：

曲面

参数连续是指曲面在连接处的参数导数连续。对于曲面来说，参数连续性不仅涉及 u 和 v 方向的一阶导数，还涉及高阶导数。在 CAD 和几何建模中，参数连续用于确保曲面拼接的光滑性。高阶参数连续（如 C²）常用于汽车、航空航天等领域，要求曲面的曲率连续。

定义

C⁰ 连续：曲面在连接处位置连续，但法向量可能不连续。
C¹ 连续：曲面在连接处位置和一阶偏导数（切平面）连续。
C² 连续：曲面在连接处位置、一阶偏导数和二阶偏导数（曲率）连续。

条件

对于两个曲面 S1(u,v) 和 S2(u,v)，在连接处需要满足：

C⁰ 连续：
C¹ 连续：
C² 连续：

几何连续

曲线

几何连续是指曲线在连接处的几何性质（如切线方向、曲率）连续，而不一定要求参数导数连续。几何连续更注重曲线的视觉效果。几何连续的条件比参数连续宽松，因此在某些情况下更容易实现。

定义

G⁰ 连续：曲线在连接点处位置连续，但切线方向可能不连续。
G¹ 连续：曲线在连接点处位置连续，且切线方向连续（切线方向相同，但大小可能不同）。
G² 连续：曲线在连接点处位置和切线方向连续，且曲率连续（曲率相同，但曲率变化率可能不同）。

条件

对于两条曲线 r1(t) 和 r2(t)，在连接处 t=t0 需要满足：

G⁰ 连续：r1(t0) = r2(t0)
G¹ 连续：T1(t0) || T2(t0)，其中 T1 和 T2 是曲线的单位切向量
G² 连续：κ1(t0) = κ2(t0)，其中 κ1 和 κ2 是曲线的曲率

在上面我们提到了曲率，参数曲线的曲率的计算公式为：

在商用软件中可以查看曲线的曲率梳，曲率连续即为 G2：

曲面

几何连续是指曲面在连接处的几何性质（如切平面、曲率）连续，而不一定要求参数导数连续。几何连续更注重曲面的视觉效果。几何连续的条件比参数连续宽松，因此在某些情况下更容易实现。

定义

G⁰ 连续：曲面在连接处位置连续，但法向量可能不连续。
G¹ 连续：曲面在连接处位置连续，且法向量连续（切平面相同，但切向量的长度可能不同）。
G² 连续：曲面在连接处位置和法向量连续，且曲率连续（所有法曲率相同，但曲率变化率可能不同）。

条件

对于两个曲面 S1(u,v) 和 S2(u,v)，在连接处需要满足：

G⁰ 连续：
G¹ 连续：

其中 n1 和 n2 是曲面的法向量。
G² 连续：

其中 κ1 和 κ2 是曲面的曲率。

在这里补充一些内容：
1.法曲率定义
法曲率定义为曲面和某一法平面（过法向的平面）交线的曲率，如下图所示。图中曲线 γ 在 p0 点处的曲率即曲面 S 在 p0 处 t 方向的法曲率。

法曲率的定义并不易于计算。计算法曲率的简便方法为：计算方向 t 在切平面上的坐标，记为 (α,β)，即 t=αDu + βDv，则法曲率为：

其中，EFG 与曲面第一基本型中的符号含义相同；LMN 与曲面第二基本型中的符号含义相同，即：

2.G2 连续即在连接曲线上任一点的所有方向法曲率都相同

但是所有方向法曲率都相同是非常强的条件，Link Curvage Theorem 证明了，只需在 1 个与 t 不共线的方向上法曲率相等，那么所有方向上的法曲率都相等。所以只考虑 t 的法向 b，只要 b 方向的法曲率是相同的，那么就 G2 连续。

3.曲面 G2 连续的表现
曲面是否 G2 连续可以通过光学效果进行近似分析。G0 的斑马线是断开的，G1 的斑马线相连但不光滑，G2 的斑马线相连且光滑。

更为实用的几何连续性表达

从上述几何连续性的定义可以推导出一些更具实用价值的结论：

1. 曲线 a 在和曲线 b 的连接点处一阶导为 d1，二阶导为 d2，若曲线 b 在连接点处一阶导为 a*d1，则 G1 连续；若曲线 b 一阶导为 a*d1 并且二阶导为 a*a*d2+b*d1，则 G2 连续，其中 a 为非负实数，b 为实数。该结论使得曲线 G2 连续可以用两个参数进行控制，并且实现方式为 C2。
2. 曲面 a 和曲面 b 在 u 边界相连且 G1 连续，曲面 a 在和曲面 b 的某一连接点处的 u 方向 1 阶导为 du，二阶导为 duu，若曲面 b 在连接点处的 u 方向一阶导为 a*du 并且二阶导为 a*a*duu + b*du，则 G2 连续，其中 a 为非负实数，b 为实数。该结论使得曲面在边界处的G2连续可以用两个参数进行控制，并且实现方式为 C2。

二维参数曲线

常见功能

获得参数范围

FirstParameter 用于获得曲线的起始参数，LastParameter 用于获得曲线的终止参数。

// 1
std::vector<AMCAX::Point2> pts = {
   AMCAX::Point2(0.5, 0.5),
   AMCAX::Point2(1.0, 3.0),
   AMCAX::Point2(3.0, 1.0),
   AMCAX::Point2(3.8,2.0),
   AMCAX::Point2(2.5,3.5),
   AMCAX::Point2(1.0,0.5),
   AMCAX::Point2(0.3,2.0)
};
std::vector<double> knots = { 0.0, 0.25, 0.5,0.75,1.0 };
std::vector<int> multiplicities = { 4, 1, 1,1,4 };
int degree = 3;
// Make a 2d bspline curve
std::shared_ptr< AMCAX::Geom2BSplineCurve> bspline = std::make_shared< AMCAX::Geom2BSplineCurve>(pts, knots, multiplicities, degree);
 
// Get the first parameter and last parameter of the curve
double fp1 = bspline->FirstParameter(); // 0
double lp1 = bspline->LastParameter(); // 1
 
//2
AMCAX::Frame2 frame;
double focal = 2.0;
// Make a 2d parabola
std::shared_ptr< AMCAX::Geom2Parabola >parabola = std::make_shared< AMCAX::Geom2Parabola>(frame, focal);
double uf = -2.0;
double ul = 2.0;
 
// Make a trimmed curve
AMCAX::Geom2TrimmedCurve trimcurve(parabola, uf, ul);
 
// Get the first parameter and last parameter of the curve
double fp2 = trimcurve.FirstParameter(); // -2
double lp2 = trimcurve.LastParameter(); // 2

求值和求导

Value 或 D0 用于求值，而 D1 ，D2 ，D3 ，DN 用于求导。

// 1
// Value
double u1 = 0.4 * (fp1 + lp1); // The parameter
// Compute the point at a parameter
AMCAX::Point2 p1 = bspline->Value(u1);
 
// D0 D1 D2 D3 DN
AMCAX::Point2 p2;
AMCAX::Vector2 vec1, vec2, vec3;
bspline->D0(u1, p2); // Compute the point at a parameter
bspline->D1(u1, p2, vec1); // Compute the point and the first derivative at a parameter
bspline->D2(u1, p2, vec1, vec2); // Compute the point and the first and second derivatives at a parameter
bspline->D3(u1, p2, vec1, vec2, vec3); // Compute the point and the first, second and third derivatives at a parameter
int n1 = 4; // The order of derivative
AMCAX::Vector2 vec4 = bspline->DN(u1, n1); // Compute the n-th derivative at a parameter
 
//2
// Value
double u2 = 1.5; // The parameter
// Compute the point at a parameters
AMCAX::Point2 p3 = trimcurve.Value(u2);
 
// D0 D1 D2 D3 DN
AMCAX::Point2 p4;
AMCAX::Vector2 vec11, vec22, vec33;
trimcurve.D0(u2, p4); // Compute the point at a parameter
trimcurve.D1(u2, p4, vec11); // Compute the point and the first derivative at a parameter
trimcurve.D2(u2, p4, vec11, vec22); // Compute the point and the first and second derivatives at a parameter
trimcurve.D3(u2, p4, vec11, vec22, vec33); // Compute the point and the first, second and third derivatives at a parameter
int n2 = 4; // The order of derivative
AMCAX::Vector2 ddn = trimcurve.DN(u2, n2); // Compute the n-th derivative at a parameter

获得类型

Type 用于获得曲线类型，如直线、圆、椭圆、抛物线等。曲线类型可参考枚举类 CurveType 。

std::cout << int(bspline->Type()) << std::endl; // 7

std::cout << int(trimcurve.Type()) << std::endl; // 8

封闭性、周期性

IsClosed 用于获得曲线的封闭性（起始点与终止点是同一个点），IsPeriodic 用于获得曲线的周期性。

std::cout << bspline->IsClosed() << std::endl; // 0
std::cout << bspline->IsPeriodic()<< std::endl; // 0
std::cout << trimcurve.IsClosed() << std::endl; // 0
std::cout << trimcurve.IsPeriodic()<< std::endl; // 0

反向

Reverse 用于将 Geom2Curve 反向，改变自身，而 Reversed 用于获取反向的 Geom2Curve，不改变自身。反转后，曲线的起点和终点将会发生对换。对于一般曲线，反转后，曲线参数范围不变，而对于裁剪曲线，可能会改变曲线的参数范围。如以下例子 2，一条裁剪直线原来的参数范围为 -1 到 3，反转后变为 -3 到 1。

// 1
std::vector<AMCAX::Point2> pts = {
   AMCAX::Point2(0.0, 0.0),
   AMCAX::Point2(2.0, 2.0),
   AMCAX::Point2(4.0, 3.0),
};
auto bezier = std::make_shared<AMCAX::Geom2BezierCurve>(pts);
std::cout << bezier->FirstParameter() << std::endl;// 0
std::cout << bezier->LastParameter() << std::endl;// 1
 
//  Reversed
auto reversebezier = bezier->Reversed();
std::cout << reversebezier->FirstParameter() << std::endl;// 0
std::cout << reversebezier->LastParameter() << std::endl;// 1
std::cout << reversebezier->Value(reversebezier->FirstParameter()) << std::endl;// 4 3
std::cout << reversebezier->Value(reversebezier->LastParameter()) << std::endl;// 0 0
 
// Reverse
bezier->Reverse();
std::cout << bezier->FirstParameter() << std::endl;// 0
std::cout << bezier->LastParameter() << std::endl;// 1
std::cout << bezier->StartPoint() << std::endl;// 4 3
std::cout << bezier->EndPoint() << std::endl;// 0 0
 
//2
AMCAX::Point2 p(0., 0.);
AMCAX::Direction2 dir(1., 0.);
auto line2 = std::make_shared<AMCAX::Geom2Line>(p, dir);
double u1 = -1.;
double u2 = 3.;
auto trimline2 = std::make_shared<AMCAX::Geom2TrimmedCurve>(line2, u1, u2);
std::cout << trimline2->StartPoint() << std::endl;// -1 0
std::cout << trimline2->EndPoint() << std::endl;// 3 0
 
//  Reversed
auto reverseline = trimline2->Reversed();
std::cout << reverseline->FirstParameter() << std::endl;// -3
std::cout << reverseline->LastParameter() << std::endl;// 1
std::cout << reverseline->Value(reverseline->FirstParameter()) << std::endl;// 3 0
std::cout << reverseline->Value(reverseline->LastParameter()) << std::endl;// -1 0
 
// Reverse
trimline2->Reverse();
std::cout << trimline2->FirstParameter() << std::endl;// -3
std::cout << trimline2->LastParameter() << std::endl;// 1
std::cout << trimline2->StartPoint() << std::endl;// 3 0
std::cout << trimline2->EndPoint() << std::endl;// -1 0

在这里我们解释一下反转后，裁剪直线的参数范围变为 -3 到 1 的原因，这是因为裁剪曲线在反转的时候是先对其 basiscurve （无穷长的直线）做反转，然后再根据裁剪起始点和终止点的参数确定反转后的参数。

另外如果想计算某一参数的对称参数可通过 ReversedParameter 来实现。

std::cout<<trimline2->ReversedParameter(0.5)<<std::endl;// -0.5

子类

Geom2Line

Geom2Line 是二维空间中的无限长直线，由点 Point2 与方向向量 Direction2 定义。点 Point2 对应的参数值为 0.0，沿 Direction2 方向，参数值为正，且参数变化量与直线上的长度变化量成正比。直线的参数域为无穷大。

AMCAX::Point2 point(0., 1.);
AMCAX::Direction2 dir(1., 2.);
auto line = std::make_shared<AMCAX::Geom2Line>(point, dir);
 
// Make a 2d trimmed curve
double u1 = 0.0; // The lower bound of the parameter
double u2 = 1.0; // The upper bound of the parameter
auto trimline = std::make_shared<AMCAX::Geom2TrimmedCurve>(line, u1, u2);
 
// Make a 2d edge
AMCAX::TopoShape edge_line = AMCAX::MakeEdge2d(trimline);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_line, "edge_line.brep");

Geom2Circle

Geom2Circle 是二维空间中的圆，由标架与半径定义。当参数值为 0 时，对应圆上标架横轴正方向上的点，随着参数值增大，点沿圆逆时针移动。圆的参数域为 [0, 2π)，即其参数坐标的取值范围。

AMCAX::Frame2 frame;
double r = 1.0; // The radius
auto circle = std::make_shared<AMCAX::Geom2Circle>(frame, r);
 
// Make a 2d edge
AMCAX::TopoShape edge_circle = AMCAX::MakeEdge2d(circle);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_circle, "edge_circle.brep");

Geom2Ellipse

Geom2Ellipse 是二维空间中的椭圆，由标架、长半径及短半径定义。当参数值为 0 时，对应椭圆上长轴正方向上的顶点，随着参数值增大，点沿椭圆逆时针移动。椭圆的参数域为 [0, 2π)，即其参数坐标的取值范围。

AMCAX::Frame2 frame;
double major = 2.0; // The major radius
double minor = 1.0; // The minor radius
auto ellipse = std::make_shared<AMCAX::Geom2Ellipse>(frame, major, minor);
 
// Make a 2d edge
AMCAX::TopoShape edge_ellipse = AMCAX::MakeEdge2d(ellipse);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_ellipse, "edge_ellipse.brep");

Geom2Hyperbola

Geom2Hyperbola 是二维空间中双曲线的右半支，由标架、实轴半径及虚轴半径定义。当参数值为 0 时，对应双曲线上实轴正方向上的顶点，参数值的绝对值越大，双曲线上对应点的 y 坐标绝对值也越大。若需获取双曲线的左半支，可通过 OtherBranch 实现。双曲线的参数域为 [-∞, +∞]，即其参数坐标的取值范围。

AMCAX::Frame2 frame;
double major = 2.0; // The major radius
double minor = 1.0; // The minor radius
auto hyperbola = std::make_shared<AMCAX::Geom2Hyperbola>(frame, major, minor);
 
// Make a 2d trimmed curve
double u1 = 0.0; // The lower bound of the parameter
double u2 = 2.0; // The upper bound of the parameter
auto trimhyperbola = std::make_shared<AMCAX::Geom2TrimmedCurve>(hyperbola, u1, u2);
 
// Get the other branch of the hyperbola
AMCAX::Hyperbola2 otherbranch = hyperbola->OtherBranch();
 
// Make a 2d edge
AMCAX::TopoShape edge_hyperbola = AMCAX::MakeEdge2d(trimhyperbola);
AMCAX::TopoShape edge_ohterhyperbola = AMCAX::MakeEdge2d(otherbranch, u1, u2);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_hyperbola, "edge_hyperbola.brep");
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_ohterhyperbola, "edge_ohterhyperbola.brep");

Geom2Parabola

Geom2Parabola 是二维空间中的抛物线，由标架和焦距定义。当参数值为 0 时，对应抛物线的原点，参数值的绝对值越大，抛物线上对应点的 y 坐标绝对值也越大。抛物线的参数域为 [-∞, +∞]，即其参数坐标的取值范围。

AMCAX::Frame2 frame;
double focal = 1.0; // The focal length
auto parabola = std::make_shared<AMCAX::Geom2Parabola>(frame, focal);
 
// Make a 2d trimmed curve
double u1 = -2.0; // The lower bound of the parameter
double u2 = 2.0; // The upper bound of the parameter
auto trimparabola = std::make_shared<AMCAX::Geom2TrimmedCurve>(parabola, u1, u2);
 
// Make a 2d edge
AMCAX::TopoShape edge_parabola = AMCAX::MakeEdge2d(trimparabola);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_parabola, "edge_parabola.brep");

Geom2BezierCurve

Geom2BezierCurve 是二维空间中的贝塞尔曲线，由控制点、权重（可选）定义。曲线的次数为控制点数量减一，例如，如果有 4 个控制点，则曲线是 3 次贝塞尔曲线。贝塞尔曲线的参数域为 [0,1]，当参数 t=0 时，对应曲线起点（第一个控制点），当参数 t=1 时，对应曲线终点（最后一个控制点）。对于标准贝塞尔曲线，其节点向量为 {0, 1}，且每个节点的重数都是曲线次数 + 1。

std::vector<AMCAX::Point2> pts = {
   AMCAX::Point2(0.0, 0.0),
   AMCAX::Point2(2.0, 2.0),
   AMCAX::Point2(4.0, 3.0),
};
auto bezier = std::make_shared<AMCAX::Geom2BezierCurve>(pts);
 
// Make a 2d edge
AMCAX::TopoShape edge_bezier = AMCAX::MakeEdge2d(bezier);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_bezier, "edge_bezier.brep");

Geom2BSplineCurve

Geom2BSplineCurve 是二维空间中的 B 样条曲线，由控制点、节点、节点重数、曲线次数及权重（可选）定义。

std::vector<AMCAX::Point2> pts = {
   AMCAX::Point2(0.5, 0.5),
   AMCAX::Point2(1.0, 3.0),
   AMCAX::Point2(3.0, 1.0),
   AMCAX::Point2(3.8,2.0),
   AMCAX::Point2(2.5,3.5),
   AMCAX::Point2(1.0,0.5),
   AMCAX::Point2(0.3,2.0)
};
std::vector<double> knots = { 0.0, 0.25, 0.5,0.75,1.0 };
std::vector<int> multiplicities = { 4, 1, 1,1,4 };
int degree = 3;
auto bspline = std::make_shared< AMCAX::Geom2BSplineCurve>(pts, knots, multiplicities, degree);
 
// Make a 2d edge
AMCAX::TopoShape edge_bspine = AMCAX::MakeEdge2d(bspline);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_bspine, "edge_bspine.brep");

Geom2TrimmedCurve

Geom2TrimmedCurve 是二维空间中的裁剪曲线，由原曲线与两个裁剪参数定义，经过裁剪后得到的曲线必然是非周期的。对于周期曲线，裁剪操作可超出其原始定义域进行，例如对圆的裁剪：

AMCAX::Frame2 frame;
double r = 1.0; // The radius
auto circle = std::make_shared<AMCAX::Geom2Circle>(frame, r);
 
// Make a 2d trimmed curve
double u1 = -AMCAX::Constants::pi / 4; // The lower bound of the parameter
double u2 = AMCAX::Constants::pi * 3 / 4; // The upper bound of the parameter
auto trimcircle = std::make_shared<AMCAX::Geom2TrimmedCurve>(circle, u1, u2);
 
// Make a 2d edge
AMCAX::TopoShape edge_trimcircle = AMCAX::MakeEdge2d(trimcircle);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_trimcircle, "edge_trimcircle.brep");

Geom2OffsetCurve

Geom2OffsetCurve 是二维空间中的偏移曲线，由原曲线与偏移距离定义，其偏移方向为沿原曲线的切向顺时针旋转 90° 后的方向。若需获取偏移曲线对应的原曲线，可通过 AMCAX::Geom2OffsetCurve::BasisCurve 实现。

AMCAX::Frame2 frame;
double r = 2.0; // The radius
auto circle = std::make_shared<AMCAX::Geom2Circle>(frame, r);
AMCAX::TopoShape edge_circleoffset1 = AMCAX::MakeEdge2d(circle);
 
// Get the 2D offset curve
double offset = 1.5; // The offset value
auto circleoffset = std::make_shared<AMCAX::Geom2OffsetCurve>(circle, offset);
 
// Get the basis curve
auto basiscircle = circleoffset->BasisCurve();
 
// Make a 2d edge
AMCAX::TopoShape edge_circleoffset = AMCAX::MakeEdge2d(circleoffset);
AMCAX::TopoShape edge_basiscircle = AMCAX::MakeEdge2d(basiscircle);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_circleoffset, "edge_circleoffset.brep");
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_basiscircle, "edge_basiscircle.brep");

三维参数曲线

常见功能

获得参数范围

FirstParameter 用于获得曲线的起始参数，LastParameter 用于获得曲线的终止参数。

// 1
std::vector<AMCAX::Point3> pts = {
AMCAX::Point3(0.5, 0.5,0.3),
AMCAX::Point3(1.0, 3.0,0.4),
AMCAX::Point3(3.0, 1.0,0.1),
AMCAX::Point3(3.8,2.0,0.6),
AMCAX::Point3(2.5,3.5,0.8),
AMCAX::Point3(1.0,0.5,0.9),
AMCAX::Point3(0.3,2.0,0.5)
};
std::vector<double> weights = { 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.0 };
std::vector<double> knots = { 0.0, 0.25, 0.5, 1.0 };
std::vector<int> multiplicities = { 4, 1, 2, 4 };
int degree = 3;
// Make a 3d bspline curve
std::shared_ptr< AMCAX::Geom3BSplineCurve> bspline = std::make_shared< AMCAX::Geom3BSplineCurve>(pts, weights, knots, multiplicities, degree);
 
// Get the first parameter and last parameter of the curve
double fp1 = bspline->FirstParameter();// 0
double lp1 = bspline->LastParameter();// 1
 
// 2
AMCAX::Frame3 frame;
double focal = 2.0;
// Make a 3d parabola
std::shared_ptr< AMCAX::Geom3Parabola >parabola = std::make_shared< AMCAX::Geom3Parabola>(frame, focal);
 
double uf = -2.0;
double ul = 2.0;
// Make a trimmed curve
AMCAX::Geom3TrimmedCurve trimcurve(parabola, uf, ul);
 
// Get the first parameter and last parameter of the curve
double fp2 = trimcurve.FirstParameter();// -2
double lp2 = trimcurve.LastParameter();// 2

求值和求导

Value 或 D0 用于求值，而 D1 ，D2 ，D3 ，DN 用于求导。

// 1
// Value
double u1 = 0.4 * (fp1 + lp1); // The parameter
// Compute the point at a parameter
AMCAX::Point3 p1 = bspline->Value(u1);
 
// D0 D1 D2 D3 DN
AMCAX::Point3 p2;
AMCAX::Vector3 vec1, vec2, vec3;
bspline->D0(u1, p2); // Compute the point at a parameter
bspline->D1(u1, p2, vec1); // Compute the point and the first derivative at a parameter
bspline->D2(u1, p2, vec1, vec2); // Compute the point and the first and second derivatives at a parameter
bspline->D3(u1, p2, vec1, vec2, vec3); // Compute the point and the first, second and third derivatives at a parameter
int n1 = 4; // The order of derivative
AMCAX::Vector3 vec4 = bspline->DN(u1, n1); // Compute the n-th derivative at a parameter
 
// 2
// Value
double u2 = 1.5; // The parameter
// Compute the point at a parameters
AMCAX::Point3 p3 = trimcurve.Value(u2);
 
// D0 D1 D2 D3 DN
AMCAX::Point3 p4;
AMCAX::Vector3 vec11, vec22, vec33;
trimcurve.D0(u2, p4); // Compute the point at a parameter
trimcurve.D1(u2, p4, vec11); // Compute the point and the first derivative at a parameter
trimcurve.D2(u2, p4, vec11, vec22); // Compute the point and the first and second derivatives at a parameter
trimcurve.D3(u2, p4, vec11, vec22, vec33); // Compute the point and the first, second and third derivatives at a parameter
int n2 = 4; // The order of derivative
AMCAX::Vector3 ddn = trimcurve.DN(u2, n2); // Compute the n-th derivative at a parameter

获得类型

Type 用于获得曲线类型，如直线、圆、椭圆、抛物线等。曲线类型可参考枚举类 CurveType 。

std::cout << int(bspline->Type()) << std::endl; // 7

std::cout << int(trimcurve.Type()) << std::endl; // 8

封闭性、周期性

IsClosed 用于获得曲线的封闭性（起始点与终止点是同一个点），IsPeriodic 用于获得曲线的周期性。

std::cout << bspline->IsClosed() << std::endl; // 0
std::cout << bspline->IsPeriodic() << std::endl; // 0
std::cout << trimcurve.IsClosed() << std::endl; // 0
std::cout << trimcurve.IsPeriodic() << std::endl; // 0

反向

Reverse 用于将 Geom3Curve 反向，改变自身，而 Reversed 用于获取反向的 Geom3Curve，不改变自身。反转后，曲线的起点和终点将会发生对换。对于一般曲线，曲线参数范围不变，而对于裁剪曲线，可能会改变曲线的参数范围。如以下例子 2，一条裁剪直线原来的参数范围为 -1 到 3，反转后变为 -3 到 1。

// 1
std::vector<AMCAX::Point3> pts = {
AMCAX::Point3(0.5, 0.5, 0.3),
    AMCAX::Point3(1.0, 3.0, 0.4),
    AMCAX::Point3(3.0, 1.0, 0.1),
    AMCAX::Point3(3.8, 2.0, 0.6),
    AMCAX::Point3(2.5, 3.5, 0.8),
    AMCAX::Point3(1.0, 0.5, 0.9),
    AMCAX::Point3(0.3, 2.0, 0.5)
};
std::vector<double> weights = { 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.0 };
std::vector<double> knots = { 0.0, 0.25, 0.5, 1.0 };
std::vector<int> multiplicities = { 4, 1, 2, 4 };
int degree = 3;
// Make a 3d bspline curve
std::shared_ptr< AMCAX::Geom3BSplineCurve> bspline = std::make_shared< AMCAX::Geom3BSplineCurve>(pts, weights, knots, multiplicities, degree);
 
std::cout << bspline->FirstParameter() << std::endl;// 0
std::cout << bspline->LastParameter() << std::endl;// 1
 
//  Reversed
auto reversebspline = bspline->Reversed();
std::cout << reversebspline->FirstParameter() << std::endl;// 0
std::cout << reversebspline->LastParameter() << std::endl;// 1
 
std::cout << reversebspline->Value(reversebspline->FirstParameter()) << std::endl;// 0.3 2 0.5
std::cout << reversebspline->Value(reversebspline->LastParameter()) << std::endl;// 0.5 0.5 0.3
 
// Reverse
bspline->Reverse();
std::cout << bspline->FirstParameter() << std::endl;// 0
std::cout << bspline->LastParameter() << std::endl;// 1
std::cout << bspline->Value(bspline->FirstParameter()) << std::endl;// 0.3 2 0.5
std::cout << bspline->Value(bspline->FirstParameter()) << std::endl;// 0.5 0.5 0.3
 
//2
AMCAX::Point3 p(0., 0., 0.);
AMCAX::Direction3 dir(1., 0., 0.);
auto line = std::make_shared<AMCAX::Geom3Line>(p, dir);
double u1 = -1.;
double u2 = 3.;
auto trimline = std::make_shared<AMCAX::Geom3TrimmedCurve>(line, u1, u2);
std::cout << trimline->Value(u1) << std::endl;// -1 0 0
std::cout << trimline->Value(u2) << std::endl;// 3 0 0
 
//  Reversed
auto reverseline = trimline->Reversed();
std::cout << reverseline->FirstParameter() << std::endl;// -3
std::cout << reverseline->LastParameter() << std::endl;// 1
std::cout << reverseline->Value(reverseline->FirstParameter()) << std::endl;// 3 0 0
std::cout << reverseline->Value(reverseline->LastParameter()) << std::endl;// -1 0 0
 
// Reverse
trimline->Reverse();
std::cout << trimline->FirstParameter() << std::endl;// -3
std::cout << trimline->LastParameter() << std::endl;// 1
std::cout << trimline->Value(trimline->FirstParameter()) << std::endl;// 3 0 0
std::cout << trimline->Value(trimline->LastParameter()) << std::endl;// -1 0 0

在这里我们解释一下反转后，裁剪直线的参数范围变为 -3 到 1 的原因，这是因为裁剪曲线在反转的时候是先对其 basiscurve （无穷长的直线）做反转，然后再根据裁剪起始点和终止点的参数确定反转后的参数。

另外如果想计算某一参数的对称参数可通过 ReversedParameter 来实现。

std::cout << trimline->ReversedParameter(0.5) << std::endl;//- 0.5

子类

Geom3Line

Geom3Line 是三维空间中的无限长直线，由 Point3 和 Direction3 定义。点 Point3 对应的参数值为 0.0，沿 Direction3 方向，参数值为正，且参数变化量与直线上的长度变化量成正比。直线的参数域为无穷大。

AMCAX::Point3 p(0., 1., 1.);
AMCAX::Direction3 dir(1., 2., 3.);
auto line = std::make_shared<AMCAX::Geom3Line>(p, dir);
 
// Make a 3d trimmed curve
double u1 = 0.0; // The lower bound of the parameter
double u2 = 1.0; // The upper bound of the parameter
auto trimline = std::make_shared<AMCAX::Geom3TrimmedCurve>(line, u1, u2);
 
// Make a 3d edge
AMCAX::TopoShape edge_line = AMCAX::MakeEdge(trimline);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_line, "edge3d_line.brep");

Geom3Circle

Geom3Circle 是三维空间中的圆，由标架和半径定义。当参数值为 0 时，对应圆上标架横轴正方向上的点，随着参数值增大，点沿圆逆时针移动。圆的参数域为 [0, 2π)，即其参数坐标的取值范围。

AMCAX::Frame3 frame;
double r = 1.0; // The radius
auto circle = std::make_shared<AMCAX::Geom3Circle>(frame, r);
 
// Make a 3d edge
AMCAX::TopoShape edge_circle = AMCAX::MakeEdge(circle);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_circle, "edge3d_circle.brep");

Geom3Ellipse

Geom3Ellipse 是三维空间中的椭圆，由标架、长半径及短半径定义。当参数值为 0 时，对应椭圆上长轴正方向上的顶点，随着参数值增大，点沿椭圆逆时针移动。椭圆的参数域为 [0, 2π)，即其参数坐标的取值范围。

AMCAX::Frame3 frame;
double major = 2.0; // The major radius
double minor = 1.0; // The minor radius
auto ellipse = std::make_shared<AMCAX::Geom3Ellipse>(frame, major, minor);
 
// Make a 3d edge
AMCAX::TopoShape edge_ellipse = AMCAX::MakeEdge(ellipse);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_ellipse, "edge3d_ellipse.brep");

Geom3Hyperbola

Geom3Hyperbola 是三维空间中双曲线的右半支，由标架、实轴半径及虚轴半径定义。当参数值为 0 时，对应双曲线上实轴正方向上的顶点，参数值的绝对值越大，双曲线上对应点的 y 坐标绝对值也越大。若需获取双曲线的左半支，可通过 OtherBranch 实现。双曲线的参数域为 [-∞, +∞]，即其参数坐标的取值范围。

AMCAX::Frame3 frame;
double major = 2.0; // The major radius
double minor = 1.0; // The minor radius
auto hyperbola = std::make_shared<AMCAX::Geom3Hyperbola>(frame, major, minor);
 
// Make a 3d trimmed curve
double u1 = 0.0; // The lower bound of the parameter
double u2 = 2.0; // The upper bound of the parameter
auto trimhyperbola = std::make_shared<AMCAX::Geom3TrimmedCurve>(hyperbola, u1, u2);
 
// Get the other branch of the hyperbola
AMCAX::Hyperbola3 otherbranch = hyperbola->OtherBranch();
 
// Make a 3d edge
AMCAX::TopoShape edge_hyperbola = AMCAX::MakeEdge(trimhyperbola);
AMCAX::TopoShape edge_ohterhyperbola = AMCAX::MakeEdge(otherbranch, u1, u2);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_hyperbola, "edge3d_hyperbola.brep");
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_ohterhyperbola, "edge3d_ohterhyperbola.brep");

Geom3Parabola

Geom3Parabola 是三维空间中的抛物线，由标架和焦距定义。当参数值为 0 时，对应抛物线的原点，参数值的绝对值越大，抛物线上对应点的 y 坐标绝对值也越大。抛物线的参数域为 [-∞, +∞]，即其参数坐标的取值范围。

AMCAX::Frame3 frame;
double focal = 1.0; // The focal length
auto parabola = std::make_shared<AMCAX::Geom3Parabola>(frame, focal);
 
// Make a 3d trimmed curve
double u1 = -2.0; // The lower bound of the parameter
double u2 = 2.0; // The upper bound of the parameter
auto trimparabola = std::make_shared<AMCAX::Geom3TrimmedCurve>(parabola, u1, u2);
 
// Make a 3d edge
AMCAX::TopoShape edge_parabola = AMCAX::MakeEdge(trimparabola);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_parabola, "edge3d_parabola.brep");

Geom3BezierCurve

Geom3BezierCurve 是三维空间中的贝塞尔曲线，由控制点、权重（可选）定义。曲线的次数为控制点数量减一，例如，如果有 4 个控制点，则曲线是 3 次贝塞尔曲线。贝塞尔曲线的参数域为 [0,1]，当参数 t=0 时，对应曲线位于起点（第一个控制点），当参数 t=0 时，对应曲线起点（第一个控制点），当参数 t=1 时，对应曲线终点（最后一个控制点）。对于标准贝塞尔曲线，其节点向量为 {0, 1}，且每个节点的重数都是曲线次数 + 1。

std::vector<AMCAX::Point3> pts = {
AMCAX::Point3(0.0, 0.0,0.0),
AMCAX::Point3(2.0, 2.0,2.0),
AMCAX::Point3(4.0, 3.0,5.0),
AMCAX::Point3(6.0,2.0,4.0)
};
auto bezier = std::make_shared<AMCAX::Geom3BezierCurve>(pts);
 
// Make a 3d edge
AMCAX::TopoShape edge_bezier = AMCAX::MakeEdge(bezier);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_bezier, "edge3d_bezier.brep");

Geom3BSplineCurve

Geom3BSplineCurve 是三维空间中的 B 样条曲线，由控制点、节点向量、节点重数、权重（可选）定义。

std::vector<AMCAX::Point3> pts = {
AMCAX::Point3(0.5, 0.5,0.3),
AMCAX::Point3(1.0, 3.0,0.4),
AMCAX::Point3(3.0, 1.0,0.1),
AMCAX::Point3(3.8,2.0,0.6),
AMCAX::Point3(2.5,3.5,0.8),
AMCAX::Point3(1.0,0.5,0.9),
AMCAX::Point3(0.3,2.0,0.5)
};
std::vector<double> weights = { 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.0 };
std::vector<double> knots = { 0.0, 0.25, 0.5, 1.0 };
std::vector<int> multiplicities = { 4, 1, 2, 4 };
int degree = 3;
auto bspline = std::make_shared< AMCAX::Geom3BSplineCurve>(pts, weights, knots, multiplicities, degree);
 
// Make a 3d edge
AMCAX::TopoShape edge_bspine = AMCAX::MakeEdge(bspline);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_bspine, "edge3d_bspine.brep");

Geom3TrimmedCurve

Geom3TrimmedCurve 是三维空间中的裁剪曲线，由原曲线和两个裁剪参数定义。由原曲线与两个裁剪参数定义，经过裁剪后得到的曲线必然是非周期的。对于周期曲线，裁剪操作可超出其原始定义域进行，例如对圆的裁剪：

AMCAX::Frame3 frame;
double r = 1.0; // The radius
auto circle = std::make_shared<AMCAX::Geom3Circle>(frame, r);
 
// Make a 3d trimmed curve
double u1 = -AMCAX::Constants::pi / 4; // The lower bound of the parameter
double u2 = AMCAX::Constants::pi * 3 / 4; // The upper bound of the parameter
auto trimcircle = std::make_shared<AMCAX::Geom3TrimmedCurve>(circle, u1, u2);
 
// Make a 3d edge
AMCAX::TopoShape edge_trimcircle = AMCAX::MakeEdge(trimcircle);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_trimcircle, "edge3d_trimcircle.brep");

Geom3OffsetCurve

Geom3OffsetCurve 是三维空间中的偏移曲线，由原曲线、偏移距离及参考方向共同定义。其功能是：将原曲线沿垂直于自身切向的方向偏移指定距离，偏移方向为切向与参考方向的外积方向（如下图所示）。图中蓝色箭头代表切向，绿色箭头代表参考方向，红色箭头代表外积方向（即偏移方向）。

以 xOy 平面内的标准圆为例，当参考方向为 Oz 轴方向时，偏移方向为向外。以下为偏移后的结果：

如需获取偏移曲线的原曲线，可通过 BasisCurve 来获得。

AMCAX::Frame3 frame;
double r = 2.0; // The radius
auto circle = std::make_shared<AMCAX::Geom3Circle>(frame, r);
 
// Get the 3D offset curve
double offset = 1.5;
AMCAX::Direction3 direction(0.0, 0.0, 1.0);
auto circleoffset = std::make_shared<AMCAX::Geom3OffsetCurve>(circle, offset, direction);
 
// Get the basiscurve
auto basiscircle = circleoffset->BasisCurve();
 
// Make a 3d edge
AMCAX::TopoShape edge_circleoffset = AMCAX::MakeEdge(circleoffset);
AMCAX::TopoShape edge_basiscircle = AMCAX::MakeEdge(basiscircle);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_circleoffset, "edge3d_circleoffset.brep");
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(edge_basiscircle, "edge3d_basiscircle.brep");

三维参数曲面

常见功能

获得参数范围

Bounds() 用于获得全部参数，FirstUParameter() 用于获得起始 u 参数，LastUParameter() 用于获得结束 u 参数，FirstVParameter() 用于获得起始 v 参数，LastVParameter() 用于获得结束 v 参数。

AMCAX::Frame3 frame;
double radius = 2.0;
AMCAX::Geom3CylindricalSurface CylindricalSurface(frame, radius);
 
// Get the parameter bounds
double u1 = 0., u2 = 0., v1 = 0., v2 = 0.;
CylindricalSurface.Bounds(u1, u2, v1, v2);
std::cout << u1 << "-" << u2 << std::endl;// 0 - 6.28319
std::cout << v1 << "-" << v2 << std::endl;// -1e+100 - 1e+100
 
std::cout << CylindricalSurface.FirstUParameter() << std::endl;// 0
std::cout << CylindricalSurface.LastUParameter() << std::endl;// 6.28319
std::cout << CylindricalSurface.FirstVParameter() << std::endl;// -1e+100
std::cout << CylindricalSurface.LastVParameter() << std::endl;// 1e+100

求值、求导

Value 或 D0 用于求值，D1，D2，D3，DN 用于求导。

// Value
double u = 1.;
double v = 2.;
std::cout << CylindricalSurface.Value(u,v) << std::endl;//1.0806 1.68294 2
 
// D0
AMCAX::Point3 p1;
CylindricalSurface.D0(u, v, p1);
// D1
AMCAX::Point3 p2;
AMCAX::Vector3 du1, dv1;
CylindricalSurface.D1(u, v, p2, du1, dv1);
// D2
AMCAX::Point3 p3;
AMCAX::Vector3 du2, dv2, duu1, duv1, dvv1;
CylindricalSurface.D2(u, v, p3, du2, dv2, duu1, duv1, dvv1);
// D3
AMCAX::Point3 p4;
AMCAX::Vector3 du3, dv3, duu2, duv2, dvv2, duuu, duuv, duvv, dvvv;
CylindricalSurface.D3(u, v, p4, du3, dv3, duu2, duv2, dvv2, duuu, duuv, duvv, dvvv);
// DN
int nu = 4, nv = 4;
AMCAX::Vector3 dn = CylindricalSurface.DN(u, v, nu, nv);

获得类型

Type() 用于获得曲面类型，如平面、球等。

std::cout << int(CylindricalSurface.Type()) << std::endl;// 2

封闭性、周期性

IsUClosed() 用于获得 u 方向的封闭性，IsUPeriodic() 用于获得 u 方向的周期性，IsVClosed() 用于获得 v 方向的封闭性，IsVPeriodic() 用于获得 v 方向的周期性。

std::cout << CylindricalSurface.IsUClosed() << std::endl;// 1
std::cout << CylindricalSurface.IsUPeriodic() << std::endl;// 1
std::cout << CylindricalSurface.IsVClosed() << std::endl;// 0
std::cout << CylindricalSurface.IsVPeriodic() << std::endl;// 0

反向

UReverse() 用于反转 U 方向，VReverse() 用于反转 V 方向。需要注意的是，方向反转后，U 方向与 V 方向的起始及结束参数保持不变，仅对应坐标位置发生改变。

AMCAX::Frame3 frame;
double radius = 2.0;
AMCAX::Geom3CylindricalSurface CylindricalSurface(frame, radius);
 
// Get the parameter bounds
double fu = CylindricalSurface.FirstUParameter();// 0
double fv = CylindricalSurface.FirstVParameter();// -1e+100
double lu= CylindricalSurface.LastUParameter();// 6.28319
double lv= CylindricalSurface.LastVParameter();// 1e+100
 
// Compute the point at given parameters
std::cout << CylindricalSurface.Value(fu, fv) << std::endl;// 2 0 -1e+100
std::cout << CylindricalSurface.Value(lu, lv) << std::endl;// 2 -4.89859e-16 1e+100
 
// Reverse
CylindricalSurface.UReverse();
CylindricalSurface.VReverse();
 
// Get the parameter bounds
double refu = CylindricalSurface.FirstUParameter();// 0
double refv = CylindricalSurface.FirstVParameter();// -1e+100
double relu = CylindricalSurface.LastUParameter();// 6.28319
double relv = CylindricalSurface.LastVParameter();// 1e+100
 
// Compute the point at given parameters
std::cout << CylindricalSurface.Value(refu, refv) << std::endl;// 2 0 1e+100
std::cout << CylindricalSurface.Value(relu, relv) << std::endl;//2 4.89859e-16 -1e+100

此外，UReversedParameter(t) 用于计算参数 t 在 U 方向上的对称参数，VReversedParameter(t) 用于计算参数 t 在 V 方向上的对称参数。

double u = 2.;
double v = 2.;
std::cout << CylindricalSurface.UReversedParameter(u) << std::endl;//4.28319
std::cout << CylindricalSurface.VReversedParameter(v) << std::endl;//-2

等参线

UIso() 用于获取 U 等参线，即参数域中直线 u=u₀ 所对应的空间曲线；VIso() 用于获取 V 等参线，即参数域中直线 v=v₀ 所对应的空间曲线。

AMCAX::Frame3 frame;
double radius = 2.0;
AMCAX::Geom3CylindricalSurface CylindricalSurface(frame, radius);
 
// Get the isoparametric curve at a  parameter
double u = 2.;
double v = 2.;
std::shared_ptr< AMCAX::Geom3Curve >uiso = CylindricalSurface.UIso(u);
std::shared_ptr< AMCAX::Geom3Curve >viso = CylindricalSurface.VIso(v);

针对上述示例，UIso（U 方向等参线）为一条平行于 Z 轴的直线，且位于圆柱侧面；VIso（V 方向等参线）为一个半径 r=2.0 的圆，且处于高度 v=2.0 的位置。

子类

Geom3Plane

Geom3Plane 是三维空间中的平面，其参数域为无穷大。该平面可通过 AMCAX::Frame3 创建：Frame3 的 XOY 平面即为该平面，OZ 方向为平面的法向；参数域的 u 方向对应 OX 方向，v 方向对应 OY 方向；且在参数 (u, v) = (0, 0) 处的三维空间点，即为 Frame3 的标架原点。

AMCAX::Frame3 frame;
 
// Construct a plane
AMCAX::Geom3Plane plane(frame);
 
// Make a face
double umin = 0.;
double umax = 2.;
double vmin = 0.;
double vmax = 2.;
AMCAX::TopoShape face_plane = AMCAX::MakeFace(plane.GetPlane(), umin, umax, vmin, vmax);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(face_plane, "face_plane.brep");

Geom3SphericalSurface

Geom3SphericalSurface 是三维空间中的球面，其参数域为 [0, 2π) × [-π/2, π/2]，参数分别对应球面的参数坐标。该球面可通过 AMCAX::Frame3 与半径创建：Frame3 的原点为球心；XOY 平面上的圆为等参线 v=0，x 正半轴与 z 轴所张成的半平面上的半圆为等参线 u=0；OX 向 OY 旋转为 u 方向正向，-OZ 向 OZ 旋转为 v 方向正向。

AMCAX::Frame3 frame;
double radius = 2.;
 
// Construct a spherical surface
AMCAX::Geom3SphericalSurface SphericalSurface(frame, radius);
 
// Make a face
double umin = 0.;
double umax = 1.;
double vmin = 0.;
double vmax = 1.;
AMCAX::TopoShape face_spherical = AMCAX::MakeFace(SphericalSurface.GetSphere(), umin, umax, vmin, vmax);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(face_spherical, "face_SphericalSurface.brep");

Geom3CylindricalSurface

Geom3CylindricalSurface 是三维空间中的无限长圆柱面，其参数域为 [0, 2π) × [-∞, ∞]，参数分别对应圆柱面的参数坐标。该圆柱面可通过 AMCAX::Frame3 与半径创建：xOy 平面上的圆为等参线 v=0；OX 向 OY 旋转为 u 方向正向，Z 轴方向为 v 方向正向。 v 方向的参数变化与弧长变化保持一致。

AMCAX::Frame3 frame;
double radius = 2.;
 
// Construct a cylindrical surface
AMCAX::Geom3CylindricalSurface CylindricalSurface(frame, radius);
 
// Make a face
double umin = 0.;
double umax = 2.;
double vmin = 0.;
double vmax = 2.;
AMCAX::TopoShape face_cylinder = AMCAX::MakeFace(CylindricalSurface.GetCylinder(), umin, umax, vmin, vmax);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(face_cylinder, "face_CylindricalSurface.brep");

Geom3ConicalSurface

Geom3ConicalSurface 是三维空间中的无限长圆锥面，其参数域为 [0, 2π) × [-∞, ∞]。该圆锥面可通过 Frame3、xOy 平面上的圆半径及半角创建：xOy 平面上的圆为等参线 v=0；OX 向 OY 旋转为 u 方向正向；v 方向为倾斜直线，与 Z 轴夹角为锐角的方向为正向，且 v 方向的参数变化与弧长变化保持一致。

AMCAX::Frame3 frame;
double radius = 2.;
double angle = 45.0 * AMCAX::Constants::pi / 180.0;// semi-angle
 
// Construct a conical surface
AMCAX::Geom3ConicalSurface ConicalSurface(frame, radius, angle);
 
// Make a face
double umin = 0.;
double umax = 2.;
double vmin = 0.;
double vmax = 2.;
AMCAX::TopoShape face_conical = AMCAX::MakeFace(ConicalSurface.GetCone(), umin, umax, vmin, vmax);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(face_conical, "face_ConicalSurface.brep");

Geom3ToroidalSurface

Geom3ToroidalSurface 是三维空间中的圆环面，其参数域为 [0, 2π) × [0, 2π)。该圆环面可通过 Frame3、大半径及小半径创建：xOy 平面上的标准圆为等参线 v=0，xOz 平面上的标准圆为等参线 u=0。

AMCAX::Frame3 frame;
double radius1 = 2.;// the major radius
double radius2 = 1.;// the minor radius
 
//  Construt a toroidal surface
AMCAX::Geom3ToroidalSurface ToroidalSurface(frame, radius1, radius2);
 
// Make a face
double umin = 0.;
double umax = 2.;
double vmin = 0.;
double vmax = 2.;
AMCAX::TopoShape face_toroidal = AMCAX::MakeFace(ToroidalSurface.GetTorus(), umin, umax, vmin, vmax);
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(face_toroidal, "face_ToroidalSurface.brep");

Geom3BezierSurface

Geom3BezierSurface 是三维空间中的贝塞尔曲面，其参数域为 [0,1]×[0,1]。该曲面可通过控制点及可选权重创建，创建时需注意：权重数量必须与控制点数量一致；若所有权所有权重相等（如均为 1），则有理贝塞尔曲面将退化为普通贝塞尔曲面。

AMCAX::Array2<AMCAX::Point3> poles(4, 4);
poles(0, 0).SetCoord(0.0, 0.0, 0.0);
poles(0, 1).SetCoord(1.0, 0.0, 2.0);
poles(0, 2).SetCoord(2.0, 0.0, 1.0);
poles(0, 3).SetCoord(3.0, 0.0, 0.0);
poles(1, 0).SetCoord(0.0, 1.0, 1.0);
poles(1, 1).SetCoord(1.0, 1.0, 3.0);
poles(1, 2).SetCoord(2.0, 1.0, 2.0);
poles(1, 3).SetCoord(3.0, 1.0, 1.0);
poles(2, 0).SetCoord(0.0, 2.0, 1.0);
poles(2, 1).SetCoord(1.0, 2.0, 2.0);
poles(2, 2).SetCoord(2.0, 2.0, 3.0);
poles(2, 3).SetCoord(3.0, 2.0, 1.0);
poles(3, 0).SetCoord(0.0, 3.0, 0.0);
poles(3, 1).SetCoord(1.0, 3.0, 1.0);
poles(3, 2).SetCoord(2.0, 3.0, 1.0);
poles(3, 3).SetCoord(3.0, 3.0, 0.0);
 
AMCAX::Array2<double> weights(4, 4);
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
    for (int j = 0; j < 4; ++j) {
        weights(i, j) = 1.0;
    }
}
// Construct a bezier surface
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3BezierSurface> BezierSurface = std::make_shared<AMCAX::Geom3BezierSurface>(poles, weights);
 
// Make a face
AMCAX::TopoShape face_bezier = AMCAX::MakeFace(BezierSurface, AMCAX::Precision::Confusion());
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(face_bezier, "face_BezierSurface.brep");

Geom3BSplineSurface

Geom3BSplineSurface 是三维空间中的 B 样条曲面，可通过控制点、节点向量、节点重数及曲线次数创建。创建时需满足以下条件：

U 方向节点向量（UKnots）的长度 = U 方向节点重数（UMultiplicities）的长度；
V 方向节点向量（VKnots）的长度 = V 方向节点重数（VMultiplicities）的长度；
U 方向节点重数之和（sum (UMultiplicities)）= 控制点矩阵行数（Poles.Rows ()） + U 方向曲线次数（UDegree） + 1；
V 方向节点重数之和（sum (VMultiplicities)）= 控制点矩阵列数（Poles.Cols ()） + V 方向曲线次数（VDegree） + 1；
节点向量（含 U、V 方向）必须单调递增，且单个节点的重数不得超过对应方向的曲线次数。

AMCAX::Array2<AMCAX::Point3> poles(4, 4);
poles(0, 0).SetCoord(0.0, 0.0, 0.0);
poles(0, 1).SetCoord(0.666667, 1., 0.333333);
poles(0, 2).SetCoord(-0.666667, 0., -0.333333);
poles(0, 3).SetCoord(0.0, 1., 0.0);
poles(1, 0).SetCoord(0.666667, 1., 0.333333);
poles(1, 1).SetCoord(1.44444, 2.22222, 0.777778);
poles(1, 2).SetCoord(-1.22222, 1.22222, 0.111111);
poles(1, 3).SetCoord(-0.666667, 2., 0.333333);
poles(2, 0).SetCoord(0.333333, 1., -0.333333);
poles(2, 1).SetCoord(1.11111, 0.222222, 0.111111);
poles(2, 2).SetCoord(2.44444, 3.22222, 0.777778);
poles(2, 3).SetCoord(1.66667, 2., 0.333333);
poles(3, 0).SetCoord(1., 0.0, 0.0);
poles(3, 1).SetCoord(1.66667, -1., 0.333333);
poles(3, 2).SetCoord(1.66667, 2., 0.333333);
poles(3, 3).SetCoord(1., 1., 0.);
std::vector<double> uknots = { 0.0, 1.0 };
std::vector<int> umults = { 4, 4 };
std::vector<double> vknots = { 0.0, 1.0 };
std::vector<int> vmults = { 4, 4 };
int udegree = 3;
int vdegree = 3;
 
// Construct a B spline surface
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3BSplineSurface> BSplineSurface = std::make_shared<AMCAX::Geom3BSplineSurface>(poles, uknots, vknots, umults, vmults, udegree, vdegree);
 
// Make a face
AMCAX::TopoShape face_bspline = AMCAX::MakeFace(BSplineSurface, AMCAX::Precision::Confusion());
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(face_bspline, "face_BSplineSurface.brep");

Geom3SurfaceOfExtrusion

Geom3SurfaceOfExtrusion 是三维空间中的无限大挤出面（拉伸面），可通过母线（Geom3Curve）及挤出方向创建：u 方向为母线的参数方向，v 方向为挤出方向；等参线 v=0 即母线本身，所有 u 等参线均为直线；u 参数域与母线的参数域一致，v 参数域为无穷大。

AMCAX::Frame3 frame;
double radius = 1.;
 
// Construct a circle
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3Curve> curve = std::make_shared<AMCAX::Geom3Circle>(frame, radius);
 
// Construt a surface of extrusion
AMCAX::Direction3 dir(0.0, 0.0, 1.0);// extrusion direction
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3SurfaceOfExtrusion> SurfaceOfExtrusion = std::make_shared<AMCAX::Geom3SurfaceOfExtrusion>(curve, dir);
 
// Construct a trimmed surface
double u1 = 0.;
double u2 = 2 * AMCAX::Constants::pi;
double v1 = 0.;
double v2 = 5.;
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3TrimmedSurface> trimextrusion = std::make_shared<AMCAX::Geom3TrimmedSurface>(SurfaceOfExtrusion, u1, u2, v1, v2);
 
// Make a face
AMCAX::TopoShape face_extrusion = AMCAX::MakeFace(trimextrusion, AMCAX::Precision::Confusion());
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(face_extrusion, "face_SurfaceOfExtrusion.brep");

Geom3SurfaceOfRevolution

Geom3SurfaceOfRevolution 是三维空间中的旋转面，可通过母线（Geom3Curve）及旋转轴创建：u 参数域为 [0, 2π)，v 参数域与母线参数域一致；每条 v 等参线均为圆心位于旋转轴上的圆，每条 u 等参线则是母线绕旋转轴旋转形成的曲线。

AMCAX::Frame3 frame;
double radius = 1.;
// Construct a circle
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3Curve> curve = std::make_shared<AMCAX::Geom3Circle>(frame, radius);
 
// Construct a trimmed curve
double u1 = 0.;// The lower bound of the parameter
double u2 = AMCAX::Constants::pi / 4.; //The upper bound of the parameter
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3TrimmedCurve> trimCurve = std::make_shared<AMCAX::Geom3TrimmedCurve>(curve, u1, u2);
 
// Construct a surface of revolution
AMCAX::Point3 p;
AMCAX::Direction3 dir(1.0, 0.0, 0.0);
AMCAX::Axis3 axis(p, dir);// The rotation axis
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3SurfaceOfRevolution> SurfaceOfRevolution = std::make_shared<AMCAX::Geom3SurfaceOfRevolution>(trimCurve, axis);
 
// Make a face
AMCAX::TopoShape  face_revolution = AMCAX::MakeFace(SurfaceOfRevolution, AMCAX::Precision::Confusion());
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(face_revolution, "face_SurfaceOfRevolution.brep");

Geom3TrimmedSurface

Geom3TrimmedSurface 是三维空间中的裁剪曲面，由原曲面与裁剪参数共同构建而成。它可对原曲面进行 u 方向裁剪、v 方向裁剪或 uv 方向联合裁剪。若需获取原曲面，可通过 BasisSurface 实现。

AMCAX::Frame3 frame;
double radius = 3.;
 
// Construct a cylindrical surface
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3CylindricalSurface> CylindricalSurface = std::make_shared< AMCAX::Geom3CylindricalSurface>(frame, radius);
 
// Construct a trimmed surface
double u1 = 0.;
double u2 = 2.;
double v1 = 0.;
double v2 = 2.;
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3TrimmedSurface> TrimmedSurface = std::make_shared<AMCAX::Geom3TrimmedSurface>(CylindricalSurface, u1, u2, v1, v2);
 
// Make a face
AMCAX::TopoShape face_trim = AMCAX::MakeFace(TrimmedSurface, AMCAX::Precision::Confusion());
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(face_trim, "face_TrimmedSurface.brep");
 
// Get the basissurface
auto basis = TrimmedSurface->BasisSurface();

Geom3OffsetSurface

Geom3OffsetSurface 是三维空间中的偏移曲面，用于将原曲面的每个点沿其法向偏移指定距离。若需获取原曲面，可通过 BasisSurface 实现。

AMCAX::Frame3 frame;
double radius = 3.;
 
// Construct a cylindrical surface
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3CylindricalSurface> CylindricalSurface = std::make_shared< AMCAX::Geom3CylindricalSurface>(frame, radius);
 
// Construct a trimmed surface
double u1 = 0.;
double u2 = 2.;
double v1 = 0.;
double v2 = 2.;
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3TrimmedSurface> TrimmedSurface = std::make_shared<AMCAX::Geom3TrimmedSurface>(CylindricalSurface, u1, u2, v1, v2);
 
// Get the offset surface
double offset = 2.;// The offset value
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3OffsetSurface> offsetsurface1 = std::make_shared<AMCAX::Geom3OffsetSurface>(TrimmedSurface, offset);
 
// Make a face
AMCAX::TopoShape face_offset = AMCAX::MakeFace(offsetsurface1, AMCAX::Precision::Confusion());
AMCAX::OCCTIO::OCCTTool::Write(face_offset, "face_offsetsurface1.brep");
 
// Get the basissurface
auto basis = offsetsurface1->BasisSurface();

若需获取偏移后的等价曲面，可通过 Surface 实现。例如，球面偏移后仍为球面，圆柱面偏移后仍为圆柱面。

double offset2 = 2.;// The offset value
AMCAX::Geom3OffsetSurface ofs(TrimmedSurface, offset2);
std::shared_ptr<AMCAX::Geom3Surface> offsetsurface2 = ofs.Surface();

事实上，上述所有类型的曲面（平面、球面、圆柱面、圆锥面、圆环面、挤出面、旋转面、贝塞尔曲面、B 样条曲面）偏移后，理论上均可由原曲面类型表示；但目前仅实现了裁剪或非裁剪的平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面的等价曲面，其余类型会返回空指针。