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九韶内核 1.0.0.0
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九韶内核 1.0.0.0
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边界表达（Boundary Representation，简称 BRep）是目前应用最广泛的数据结构，它能够在减轻存储压力的同时，确保数据的完备性与无歧义性。 BRep 仅是一个笼统概念，具体的拓扑结构如何构建仍是一个开放性问题。本文仅讨论九韶内核所采用的 BRep 结构，即 Vertex-Edge-Wire-Face-Shell-Solid-CompSolid-Compound。
我们先对 B-rep 结构中各级拓扑结构的定义进行说明：
接下来我们将通过一些例子，帮助您更好地理解。
这个例子包含 4 个 Vertex，4 条 Edge，1 个 Wire，1 个 Face。
由于中间重合部分的 Vertex 和 Edge 是共用的，所以这个例子包含 6 个 Vertex，7 条 Edge，2 个 Wire，2 个 Face，1 个 Shell。
这个例子包含 8 个 Vertex，12 条 Edge，6 个 Wire，6 个 Face，1 个 Shell。
这个例子包含 2 个 Vertex，3 条 Edge，3 个 Wire，3 个 Face，1 个 Shell。而 0 号 Edge 在 Wire 中被复用了，所以这是一条经典的 Seam Edge。
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这个例子包含 2 个 Vertex、3 条 Edge、1 个 Wire、1 个 Face 和 1 个 Shell。其中不仅存在 Seam Edge，还有两条无长度的 Edge。实际上，这两条 Edge 虽在三维空间中没有长度，但在参数域上具备长度，因此属于典型的 Degenerated Edge（退化边）。
接下来，我们将介绍几种较为常见的 Edge。
在封闭的 TopoShape（此处指 Shell、Solid）中，最常见的 Edge 通常是两个不同 Face 的邻接边。普通 Edge 分属两个不同的 Face，且长度不为 0。
一个常见的特例是圆柱的侧边，这条 Edge 仅属于一个 Face，且在该 Face 的 Wire 中出现两次（一次正向，一次反向）。Seam Edge 是合法的。
一个常见的特例是球体的顶边，这条 Edge 长度为 0，退化为一个点。Degenerated Edge（退化边）是合法的。
仅属于 1 个 Face，且在该 Face 的 1 个 Wire 中只出现一次的 Edge，称为自由 Edge。在封闭的 TopoShape 中，自由 Edge 是非法的。
在一个 Shape 或 Solid 中，若某条 Edge 属于两个以上的 Face，则该 Edge 称为非流形 Edge。非流形 Edge 是非法的。
首先，我们来介绍 TopoShape 的树状结构，如下图所示：
对拓扑结构进行遍历是一项十分常见的操作，我们内核提供了两种方式：TopoExplorer 和 WireExplorer。接下来，我们将对这两种方式逐一进行介绍。
TopoExplorer 能够对 TopoShape 中指定类型（Shape、Compound、CompSolid、Solid、Shell、Face、Wire、Edge、Vertex）的元素，按照树状结构进行先序遍历，从而找到该类型的子 shape。例如，遍历某个 TopoShape 中的面可使用如下代码：
需要注意的是，TopoExplorer 不会考虑重复性(IsSame级别的“相等”)，也就是说，如果一条 Edge 被两个 Face 共用，那 TopoExplorer 仍然会遍历这条 Edge 两次。如果不希望遍历两次，则可以使用一个 std::unordered_set 来去重，代码如下：
在上文中，我们提到了重复性，重复性其实隐含了“相等”的定义。接下来我们将介绍关于 TopoShape 三种层次的“相等”，严格程度逐渐增加：
当需要按照拓扑连通顺序遍历 Wire 中的 Edge 时（前一条边的终点 = 下一条边的起点）， AMCAX::TopoExplorer 可能无法满足需求。例如，使用三个 Point3 构造三条 Edge 并组合成一个 Wire 时，若添加 Edge 的顺序与它们的实际连接顺序不一致，此时通过 TopoExplorer 遍历得到的 Edge 顺序将与实际拓扑连接顺序不符，而是按构造次序返回的。此时应使用 AMCAX::WireExplorer ，它能确保按照 Edge 的实际连接顺序进行遍历，不过遍历速度会变慢。
由于树状结构和先序遍历的存在，事实上每条 Edge（其他的 Vertex、Wire、Face 也是类似的）都有自己的序号。而 AMCAX::TopoExplorerTool 类提供了一些快捷的遍历操作， AMCAX::TopoExplorerTool::MapShapes 可以获得某类拓扑结构的有序号集合（如 Edge），并且得到的集合是去重的。
事实上，这个序号和在 FreeCAD 中左下角显示的序号是一致的（FreeCAD 从 1 开始，而我们内核从 0 开始）。
AMCAX::TopoExplorerTool::MapShapesAndAncestors 可以获取子 shape 到所属的父 shape 的 Map，而 AMCAX::TopoExplorerTool::MapShapesAndUniqueAncestors 同样可以获取 Map，两者的区别在于当输入 seam 边时，MapShapesAndUniqueAncestors 会返回 1 个所属 face，而 MapShapesAndAncestors 会返回 2 个所属 face。比如 Edge 到所属 Face 的 Map 可以这样获得：
判断一条 Edge 是否是退化的是非常重要的，比如我们不应当在一条退化边上进行采样。我们可以通过 AMCAX::TopoTool::Degenerated 来判断。
可以通过 AMCAX::TopoTool::IsClosed 来判断一条 Edge 是否为 Seam 边。
Vertex 中只有一个 Point，表示三维空间中的点。而从 Vertex 中获取 Point 的方法为 AMCAX::TopoTool::Point ：
curve3d 是三维参数曲线，pcurve 是二维参数曲线。pcurve 与 <Edge, Surface, Location> 三者绑定，即 Edge、Surface、Location共同构成一条 pcurve 的索引标识。
一条 Edge 中通常包含一条 curve3d 与两条 pcurve 。从原理上，通过 pcurve 与对应的 Surface 可反向构建出一条三维参数曲线，但由于存在 Tolerance ，这种方式构建的三维参数曲线，与 Edge 中原有的 curve3d 基本不会完全重合。 在几何建模过程中，对 Edge 内包含的 Curve 数量并无强制要求，即使不含任何 Curve 也可正常操作；但除特殊场景（如退化 Edge）外，一条 Edge 应包含 1 条 curve3d 与 2 条 pcurve。
接下来我们将介绍几种特殊情况：
如果 Edge 位于一个平面（Geom3Plane）上，则不需要额外的 pcurve。因为平面上的 Edge 可以直接通过 Curve3d 来表示。
Seam Edge 有 1 条 curve3d 和两条 pcurve，这两条 pcurve 都在 1 个 Face 上，两条 pcurve 的区别在于 Edge 的 Orientation：一条 pcurve 对应 Edge 的正向，另一条 pcurve 对应 Edge 的反向。
Degenerated Edge 只有 1 条 pcurve，没有 curve3d。
自由 Edge 有 1 条 curve3d，1 条 pcurve。
获取 Edge 的 Curve3d 的方法是 AMCAX::TopoTool::Curve 。
有几点需要注意：
1.接口返回的是原始的曲线，或者说，如果一条 Edge 是一个 Geom3Line 和两个 Vertex 构成的线段，那么这个接口获取到的是一条无限长的直线（Geom3Line），fp 和 lp 是两个 Vertex 在曲线上的参数。
2.AMCAX::TopoTool::Curve 有重载函数，一个输入 loc 而另一个没有。输入 loc 的接口得到的一定是指向 edge 中曲线内存的一个指针，而没输入 loc 的接口，在 edge 的 location 为空时，返回指向内存的指针，非空时返回指向一条新构建曲线的指针。
3.如果输入的是一个退化边，会返回空指针。
4.输入 loc 的接口获得的 Curve 和实际的位置差了一个 location，而对 Curve 直接应用 location.Transformation() 是禁止的，这会改变 edge 的内容。正确的做法是，复制一份 Curve 再对 CopyCurve 进行变换：
获取 pcurve 的方法是 AMCAX::TopoTool::CurveOnSurface 。
需要注意的是，如果输入的是 seam 边，需要特殊处理，根据 Edge 的 Orientation 会返回不同的 pcurve：
在上面的示例中，获取了圆柱 seam 边的两条 pcurve ，这两条 pcurve 的朝向始终一致，与 curve3d 的朝向一致，这不需要考虑 edge 的朝向。
一个 Face 中只有一个 Surface。获取 Surface 的方式是 AMCAX::TopoTool::Surface 。
输入 loc 的接口获得的 Surface 和实际的位置差了一个 location，而对 Surface 直接应用 location.Transformation() 是禁止的，这会改变 face 的内容。正确的做法是，复制一份 Surface 再对 CopySurface 进行变换：
Mesh 指的是三角网格。Mesh 在 CAD 中的存在意义是渲染。由于 OpenGL 的绘制基本单元是点、线段、三角形，因此曲线必须离散成多边形进行绘制，曲面必须离散成 Mesh 进行绘制，因此在包含图形用户界面（GUI）的应用程序中，看到的 BRep 模型通常是通过三角网格来可视化的。如下图所示。
显然，离散会带来误差，这意味着在包含 GUI 的应用程序中显示的 BRep 模型并不是模型本身，而是模型的 Mesh，二者之间的误差由离散精度，即网格的疏密程度决定，考虑到 CAD 模型的 Mesh 生成必须非常快，Mesh 的精度可想而知并不高。
由离散带来的问题是非常多的，如通过视觉判断两个事实上相同的圆是否重叠，或两个相同的球是否重叠，就会出现下图所示的情况。或者将光滑曲面渲染成出现褶皱的情况。另一类问题是网格生成失败，这会导致存在破洞。因此看到模型上有洞，需要综合考量 Mesh 的原因和模型本身的原因。
接下来我们将介绍 Mesh 的生成、获取、读写方法。
虽然 Mesh 对于渲染而言是必要的，但不一定要在模型构建后使用内核为模型生成 Mesh ，因为包含 GUI 的软件会自行生成 Mesh，进而用于渲染。渲染中的法向是一个关键信息，如果 Mesh 不提供法向，渲染时会根据 Mesh 自动计算一个近似的法向。如果需要确保三角网格的法向和 CAD 模型的法向是一致的，则可以使用 AMCAX::MakeShapeTool::EnsureNormalConsistency() 。
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